In dem Modell zur Aufgabe 3 gilt:
Zwar ist die Änderungsrate c für die Zustandsgröße Z (=Wasserpflanzenmenge) konstant, jedoch ist die (absolute) Änderung von Z in gleichen Zeitabschnitten keineswegs konstant. Vielmehr hängt diese von der jeweils vorhandenen Pflanzenmenge in der Weise ab, daß die Größe der Änderung proportional zur Menge der jeweils zu Beginn eines Zeitabschnitts bereits vorhandenen Pflanzenmenge ist. Anders ausgedrückt bedeutet dies:
Je mehr Pflanzen bereits vorhanden sind, umso größer ist die durch Wachstum hinzukommende Pflanzenmenge.
Entsprechend heißt es in der Modellgleichung für die Zustandsänderung:
Pflanzenwachstum = Wachstumsrate_Pflanzen * Wasserpflanzen
Man nennt dies auch ein (ungebremstes) rückgekoppeltes Wachstum.
Bei einem solchen Wachstum gilt allgemein in einem Zeitabschnitt die Gleichung
(*) Änderung_von_Z = Änderungsrate_c * Z
Mathematisch ausgedrückt 1) ist dies die Differentialgleichung
Z'(t) = c * Z(t).
Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Exponentialfunktion
Z(t) = Zo * e(c*t) ,
wobei Zo den Startwert (Anfangswert) der Zustandsgröße Z bezeichnet.
Daher heißt dieser Wachstumstyp "EXPONENTIELLES WACHSTUM"
DYNASYS und ebenso alle anderen Modellbildungs- und Simulations-Programme lösen bei der Modellbildung entstehende Differentialgleichungen wie die Gleichung (*) allerdings nicht algebraisch-analytisch, sondern durchweg numerisch (vgl. den später folgenden Zweiten Mathematischen Exkurs: "Mathematische Verfahren zur Ermittlung von Prognosewerten"), denn für die meisten Differentialgleichungen gibt es keine "geschlossenen" Lösungen.
Anmerkung 1):
Eine solche mathematische Ausdrucks- und Schreibweise ist natürlich
für Schülerinnen und Schüler zumindest der Sek.I noch
nicht verständlich und sollte deswegen auch in deren Unterricht
unterbleiben.
© Helmut Kohorst & Philipp Portscheller 01.08.1996
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