Oft ist in einem dynamischen System zwar die Änderungsrate
c für die Zustandsgröße Z konstant, jedoch ist die (absolute)
Änderung von Z in gleichen Zeitabschnitten keineswegs konstant. Vielmehr
hängt diese von dem jeweils vorhandenen Wert von Z in der Weise ab,
daß die Größe der Änderung proportional zur
Größe des jeweils zu Beginn eines Zeitabschnitts bereits
vorhandenen Wertes von Z ist.
Anders ausgedrückt bedeutet dies:
Je
größer Z bereits ist, umso größer ist das
Wachstum von Z
Entsprechend heißt es in der Modellgleichung
für die Zustandsänderung in einem Zeitabschnitt:
Änderung_von_Z
= Änderungsrate_c * Z
Man nennt dies auch ein (ungebremstes)
rückgekoppeltes Wachstum.
Allgemein bekannt ist diese Situation von der
Zinseszinsrechnung bei einem Sparkonto mit einem feststehenden Zinssatz
c und jährlicher Verzinsung (bei zugrundeliegendem diskreten System)
bzw. "stetiger Verzinsung" (bei zugrundeliegendem kontinuierlichen System).
Den Fall der jährlichen Verzinsung lernen
Schülerinnen und Schüler in der Regel bereits im Mathematikunterricht
der Klasse 7 (im Anschluß an die Zinsrechnung) bzw. der Klasse 10
(Exponentialfunktionen) kennen mit der
Zinseszinsformel
Z(t) = Zo * (1+c)t
(Anfangskapital Zo, Jahres-Zinssatz c,
Anlagedauer t Jahre).
Dagegen wird der Fall der "stetigen Verzinsung"
allenfalls im Zusammenhang mit der Einführung der Eulerschen Zahl e
am Ende des Analysis-Unterrichts (i.e. in der Jahrgangsstufe 12 oder
13) behandelt wird.
Drückt man den obigen Sachverhalt in der Sprache
der Analysis aus, so hat man es hier zu tun mit der Differentialgleichung
(*)
Z'(t) = c * Z(t)
Diese Differentialgleichung läßt sich analytisch
lösen durch die Exponentialfunktion
Z(t) =
Zo * e(c*t)
wobei Zo den Startwert (Anfangswert) der
Zustandsgröße Z bezeichnet.
"EXPONENTIELLES
WACHSTUM"
Daher heißt dieser Wachstumstyp
"Exponentielles Wachstum".
DYNASYS und ebenso alle anderen Modellbildungs- und
Simulations-Programme lösen bei der Modellbildung entstehende
Differentialgleichungen wie die Gleichung (*) allerdings nicht
algebraisch-analytisch, sondern durchweg numerisch (vgl. die Rechenverfahren
nach "Euler-Cauchy" und
"Runge-Kutta"), denn für die meisten
Differentialgleichungen gibt es keine "geschlossenen" Lösungen.
