Besteht in einem dynamischen System für das Wachstum einer
Zustandsgröße Z eine feste obere Grenze "Z_extrem" , so muß
das Wachstum derart gebremst werden, daß diese Grenze nicht
überschritten werden kann.Eine solche Entwicklung kann man mit Hilfe
des zusätzlichen Korrekturfaktors
(1 - Z /
Z_extrem)
in der zum exponentiellen Wachstum gehörigen
Gleichung
Dieser Korrekturfaktor ist bei großem Abstand
zwischen dem Wert Z der Zustandsgröße und dem Grenzwert "Z_extrem"
nahezu =1, ändert dann also fast nichts am exponentiellen Wachstum;
bei sehr kleinem Abstand dieser Werte jedoch ist er nahezu =0 und
läßt damit (fast) keine Änderungen der Zustandsgröße
Z mehr zu.
Mathematisch ausgedrückt ist der Korrekturfaktor eine
streng monoton fallende Funktion mit Maximum 1 und Grenzwert 0.
Aus der zum exponentiellen Wachstum gehörigen Gleichung ergibt sich
durch Einführung dieses Korrekturfaktors als neue Gleichung für
die Änderung in einem Zeitabschnitt:
Änderung_von_Z
= (1 - Z / Z_extrem) * c * Z
Es entsteht also die Differentialgleichung
(*) Z'(t)
= (1-Z(t)/Z_extrem)*c*Z(t)
Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die
Logistische Funktion
wobei Zo den Startwert (Anfangswert) der
Zustandsgröße Z bezeichnet.
"LOGISTISCHES
WACHSTUM"
Daher heißt dieser Wachstumstyp
Logistisches Wachstum.
DYNASYS und ebenso alle anderen Modellbildungs- und
Simulations-Programme lösen bei der Modellbildung entstehende
Differentialgleichungen wie die Gleichung (*) allerdings nicht
algebraisch-analytisch, sondern durchweg numerisch (vgl. die Rechenverfahren
nach "Euler-Cauchy" und
"Runge-Kutta"), denn für die meisten
Differentialgleichungen gibt es keine "geschlossenen" Lösungen.
