Phase 8: Reflexion über mögliche Fehlerquellen und die mit solchen Computer-Simulationen verbundenen Chancen und Gefahren.

Aufgabe 16:

Welche Fehlerquellen bergen Modellbildungsprozesse und (Computer-)Simulationen wie die im Verlauf dieser Unterrichtseinheit durchgeführten?

Welche Chancen und Gefahren sind mit ihnen verbunden?

Intendierte Lösung zu Aufgabe 16 :

Bei der Modellbildung und Simulation muß man sich grundsätzlich mit folgenden vier Fehlerquellen auseinandersetzen:

• Vereinfachungsfehler bei der Bildung eines quantitativen Modells.
  Sie resultieren aus der Notwendigkeit der Reduktion der komplexen Wirklichkeit auf ein überschaubares System, aus der Abstraktion von den im System vorhandenen Zustandsgrößen und Wirkungszusammenhängen auv idealisierte Modellgrößen und ihre mathematisch oft zu ungenauen, mitunter gar rein spekulativen Formeln zur Beschreibung der zugehörigen Wechselwirkungen.
  
• Verfahrensfehler bei der Auswahl und Anwendung eines (i.d.R. zwangsweise ungenauen) Rechenverfahrens.
  Sie resultieren aus der unangenehmen Situation, daß es für die im Modell auftauchenden Differentialgleichungen in aller Regel keine geschlossenen und exakten Lösungsverfahren gibt, sondern mit Näherungsverfahren gearbeitet werden muß.
  Das in diesem IKG-Projekt benutzte Programm DYNASYS stellt hier zwei Verfahren zur Verfügung: das (einfache) Euler-Cauchy-Verfahren und das Runge-Kutta-Verfahren (4.Ordnung).
  Worin diese Verfahrensfehler bestehen, erläutert der weiter unten folgende knappe "Mathematische Exkurs" insbesondere zum Euler-Cauchy-Verfahren in einer Form, wie sie vielleicht auch von Schülerinnen und Schülern der Sek.I (hier Jahrgangsstufe 8) zumindest in Ansätzen verstanden werden kann.
  Falls die das Projekt leitenden Erdkunde-Lehrerinnen und -Lehrer nicht selbst über entsprechende mathematische Kenntnisse verfügen, ergibt sich bei der Thematisierung solcher Verfahrensfehler an dieser Stelle die Notwendigkeit, im Sinne eines fächerübergreifenden Projekt-Unterrichts auf Hilfestellungen der in der Klasse unterrichtenden Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer zurückzugreifen.
  
• Rechenfehler, da Computer aufgrund ihrer zwangsweise endlichen Speicherkapazität nur mit endlich vielen Stellen rechnen können, also zum Runden gezwungen sind. Dabei können sich die evtl. auftretenden Rundungsfehler, ohne daß man dies hinreichend kontrollieren könnte, sowohl gegenseitig verstärken als auch gegenseitig vermindern.
  
• Interpretationsfehler beim Schließen vom errechneten zukünftigen Modellzustand auf den realen zukünftigen Systemzustand, denn hier kann es sich aufgrund des Zusammenwirkens der o.g. Fehler - die sich gegenseitig vermindern, aber auch potenzieren können - in der Regel allenfalls um eine "spekulative Vorhersage" handeln.

Die folgende Graphik zeigt die Situation noch einmal im Überblick:

Fehlerquellen im Zusammenhang mit Modellbildung und Simulation

Chancen von Modellbildungsprozessen und Simulationen

bestehen bei

• Beschreibungsmodellen in der Möglichkeit, Abläufe innerhalb eines Systems zu veranschaulichen.
• Erklärungsmodellen in der Möglichkeit, Abläufe innerhalb eines Systems faßbar und begründbar zu machen.
• Entscheidungsmodellen in der Möglichkeit, potentielle zukünftige Systementwicklungen vorherzusagen und so Grundlagen für heute notwendige Entscheidungen zu erhalten.

Die folgende Graphik zeigt die Situation im Überblick:

Bei den Modellen und Simulationen dieses IKG-Projektes bietet sich - je nach Sichtweise - die Thematisierung aller drei Dimensionen an, wobei das Schwergewicht wohl auf den mit Entscheidungsmodellen verbundenen Zielsetzungen und Möglichkeiten liegen wird.

Gefahren von Modellbildungsprozessen

• Modelle ohne Rücksicht auf die beim Modellbildungsprozeß begangenen Fehler (s.o.) mit der Realität gleichzusetzen
• Simulationsergebnisse als zukünftige Realität statt als evtl. sehr fehlerhafte Rechenergebnisse anzusehen.
• eine in diesem Sinne falsche Computer-Gläubigkeit, die sachgerechte Beurteilungen und Entscheidungen eher gefährden kann, statt sie zu unterstützen.

Modellbildungsprozesse und Simulationsergebnisse haben keine Beweiskraft, sondern allenfalls eine gewisse Plausibilität, deren Stärke durch möglichst unvoreingenommene und sorgfältige Fehlerabschätzungen geprüft werden muß. Dabei sollte nach Möglichkeit auch das Ausmaß der Unsicherheit offengelegt werden!

Mathematischer Exkurs:

Mathematische Verfahren zur Ermittlung von Prognosewerten

Von einer Zustandsgröße Z seien bekannt:

• ihre bisherige Entwicklung bis zum Zeitpunkt t ,
  mindestens aber ihr Wert Z(t) zu diesem Zeitpunkt t , d.h. der Punkt A(t;Z(t)).
• die momentane Änderungsrate (Steigung) m=m(t) zu diesem Zeitpunkt t .

Gesucht ist nun ein Prognosewert P(t+dt) für den tatsächlichen Wert Z(t+dt) nach einer gewissen Zeitspanne dt.

Aus den obigen Angaben ( Punkt A und Steigung m ) läßt sich mit Hilfe des Steigungsdreiecks eine lineare Funktion P ermitteln, denn es ist (vgl. die folgende Skizze)

Diese lineare Funktion P läßt sich interpretieren als "Lineare Fortsetzung" der Funktion Z vom Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t+dt. Anders ausgedrückt: Die Prognose-Funktion P ist die Tangentenfunktion zur (differenzierbaren) Funktion Z im Zeitpunkt t.
(Eine solche mathematische Ausdrucks- und Schreibweise ist natürlich für Schülerinnen und Schüler zumindest der Sek.I noch nicht verständlich und sollte deswegen auch in deren Unterricht unterbleiben.)

In all den Fällen, in denen der Graph von Z im betrachteten Zeitintervall dt nur wenig von einer Geraden abweicht, stellt der nach dem obigen Euler-Cauchy-Verfahren ermittelte Wert P(t+dt) einen "rauchbaren Prognosewert für den vorherzusagenden Wert Z(t+dt) dar, denn in diesen Fällen gilt:

Unglücklicherweise braucht dies nicht so zu sein, wie z.B. die folgende Skizze lehrt:

Man versucht, den dabei auftretenden Verfahrensfehler ggf. durch eine Verkleinerung des Zeitintervalls dt zu vermindern. Dies erkauft man jedoch i.a. damit, daß dann bei einer größeren Zahl von Rechenschritten (Iterationsschritten) bis zum Erreichen der vorgewählten "Prognosen-Endzeit" größere Rundungsfehler auftreten können.

Man kann also Fehler prinzipiell nicht vermeiden, und es bleibt obendrein unklar, in welcher Weise Verfahrens- und Rechenfehler den Gesamtfehler vergrößernd oder verkleinernd beeinflussen. Es ist vielmehr durchaus möglich, daß sich die Fehler bis zu ersichtlich unsinnigen Rechenergebnissen verstärken. Dies gilt in besonderem Maße für periodische Abläufe, so daß hier leicht der Eindruck eines chaotischen Verhaltens entstehen kann, obwohl dieses in der Realität gar nicht vorliegt.

Dennoch bietet das Euler-Cauchy-Verfahren bei diskreten Systemen und hinreichend kurzen Prognosezeiträumen meist eine ausreichende Genauigkeit.

Für kontinuierliche Systeme bzw. längere Prognosezeiträume reicht die mit dem Euler-Cauchy-Verfahren erzielbare Genauigkeit allerdings i.d.R. nicht aus. Hier bedient man sich des deutlich aufwendigeren, aber auch genaueren Runge-Kutta-Verfahrens, das mit mehreren Stützstellen im Zeitintervall  dt  arbeitet und deren Einfluß auf den Prognosewert auch noch unterschiedlich gewichtet.

Dieses Verfahren soll hier nicht näher dargestellt werden, da es das Verständnisvermögen von Schülerinnen und Schülern der Sek.I und insbesondere der 7.-9. Klasse deutlich übersteigt. Sollten die in anderen Zusammenhängen zu untersuchenden Systeme seine Anwendung dennoch notwendig machen, muß es m.E. (zumindest in der Sek.I) wohl oder übel als "black box" benutzt werden.

©   Helmut Kohorst   01.10.1996

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